L'hypercube est le plus connu des polychores, c'est-à-dire des objets à quatre dimensions constitués de polyèdres. On l'appelle aussi tesseract ou 4-cube, et il appartient à la famille des 8-cellules, c'est-à-dire des polychores constitués de huit polyèdres.

Loin de moi l'idée d'empiéter sur le territoire de mon ex-élève MM, qui dans son blog à récemment parlé de l'hypercube. J'avais depuis un certain temps l'intention d'en parler et de commencer une série sur l'hypercube et ses dérivés, comme je l'avais fait pour le 5-cellules.

Mais au fait, un hypercube, c'est quoi ? J'ai déjà eu l'occasion d'expliquer l'idée, avec mes 10-cube et 15-cube. C'est l'équivalent du cube pour un espace à trois dimensions, ou du carré pour un espace à deux dimensions, ou même d'un segment pour un espace à une dimension. A partir d'un sommet du cube, il y a trois arêtes perpendiculaires. Dans un espace à quatre dimensions, on peut ajouter une quatrième arête, perpendiculaire aux trois autres. En faisant de même avec tous les sommets du cube, et en complétant les huit nouveaux sommets ainsi obtenus de manière à ce que quatre arêtes perpendiculaires en partent à chaque fois, on obtient l'hypercube.

Bien sûr, il est impossible de se représenter une telle chose, car notre espace ne comporte que trois dimensions, ou du moins, nous n'en percevons que trois. Comment, alors, dessiner ou construire un hypercube ? En utilisant une projection ou un diagramme de Schlegel en trois dimensions. La projection donne ceci :

C'est un peu la même idée que la représentation d'un cube en perspective cavalière. Il existe bien sûr d'autres projections possibles. Quant au diagramme de Schlegel, qui dans ce cas précis n'est pas une projection, le voici :

C'est la représentation la plus connue de l'hypercube, et elle est très appréciée des élèves débutants à mon club.

MM a fort obligemment fourni le nombre d'éléments de l'hypercube. Il existe un moyen de les trouver par le calcul. Voici cette liste pour les premiers n-cubes :

Et voici la méthode de calcul :

Par exemple, si je veux calculer le nombre de faces (3-topes) de l'hypercube, je prends le nombre de faces du cube, je multiplie ce nombre par 2, et j'ajoute au résultat obtenu le nombre d'arêtes (2-topes) du cube.

Bien sûr, je suis loin d'avoir épuisé le sujet. Ceux que l'univers des polychores passionne et qui maîtrisent l'anglais mathématique liront avec profit un des ouvrages majeurs sur le sujet : Regular Polytopes, de Coxeter, un des plus grands théoriciens sur la question.

l'hypercube

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