polychore

MM, ce lundi, n'était pas en panne d'imagination. Il a produit un nouveau polychore, à la fois très simple et très intéressant, car selon le choix que l'on fait pour les cellules, il peut s'agir d'un 12-cellules ou d'un 18-cellules.

MM, jamais en panne d'idées, a construit ce polychore non uniforme, qui est, à vue de nez, un 24-cellules.   Il n'est pas peu fier d'avoir découvert et construit quelque chose avant que je n'en fasse moi-même la découverte. Il le présentera un jour ou l'autre, si ce n'est déjà fait, dans son blog. Je l'aiderai un peu, bien sûr, pour la description mathématique, car il n'a pas encore des connaissances suffisantes pour le faire seul.

En écrivant les derniers messages sur ce blog, j'ai cherché de nouvelles projections de l'hypercube qui permettraient de construire tous les dérivés, et j'en ai trouvé une tellement simple que je me demande encore pourquoi je n'y avais pas pensé plus tôt. J'ai donc obtenu tous les dérivés de l'hypercube à partir du même point de départ. Problème : certaines intersections d'arêtes tombaient très mal et m'ont contraint à travailler sur de très grandes longueurs, ce qui rend certaines images peu lisibles. Enfin, voici quand même le... [Lire la suite]

Pour achever la série des dérivés de l'hypercube, il reste l'hypercube omnitronqué : il est à la fois tronqué, chanfreiné et raboté. Il est constitué de 80 cellules : 8 cuboctaèdres tronqués (des cubes omnitronqués), 16 octaèdres tronqués, 24 prismes à base octogonale et 32 prismes à base hexagonale. Les octaèdres tronqués prennent la place des sommets de l'hypercube ; les prismes à base hexagonale remplacent les arêtes. Quant aux prismes à base octogonale, ils se trouvent entre deux cuboctaèdres tronqués. Par ailleurs,... [Lire la suite]

Je fais une petite pause au milieu de mes vacances (en réalité très studieuses), et je reste dans la continuité du message précédent. Vous vous souvenez de ceci : Dans le message précédent, je vous avais présenté un polychore que cette construction m'avait inspiré : Eh bien cette construction m'en avait inspiré un autre :           Il s'agit d'un 346-cellules, un objet plus petit, donc, que le polychore du message précédent. Il est composé de 26 icosaèdres, 160 troncs de... [Lire la suite]

Vous vous souvenez de cette photo ? C'était pendant les journées portes-ouvertes de mon établissement scolaire. L'élève qui avait fabriqué ceci, un icosaèdre régulier entouré de vingt troncs de pyramides, m'avait inspiré une idée. Et voici à quoi cette idée m'a finalement fait aboutir : un polychore non uniforme constitué de 2224 celules, mais qui comporte trop de pièces pour que je puisse le construire à la main.           Et voici une petite vue depuis l'intérieur de la projection... [Lire la suite]

La bitroncature est une troncature des sommets qui dépasse la rectification : on tronque aux trois-quarts de l'arête, alors que la troncature simple tronque au quart, et la rectification à la moitié. Avec le 5-cellules, voici ce que l'on obtient en bitronquant chaque cellule : La bitroncature d'un solide est la troncature du dual de ce solide ; le dual du tétraèdre étant le tétraèdre lui-même, le tétraèdre bitronqué est en fait le tétraèdre tronqué. On obtient aussi pour figure de sommet des tétraèdres tronqués, cinq au... [Lire la suite]

La séance d'aujoud'hui a été placée sous le signe des polychores. Deux groupes se sont constitués, chacun ayant décidé de construire un des polychores uniformes simples dont j'avais imprimé l'image, et dont certains ont été ou vont être publiés sur ce blog. Un des groupes avait de l'ambition, mais n'a pas pu achever son travail, par manque de temps. Voici une photo alors que l'on approchait de la fin de la séance. Les élèves ont pu finalement achever l'enveloppe externe, mais n'ont pas pu aller plus loin. Le polychore qu'ils... [Lire la suite]

Pour tronquer un polychore, on tronque chaque cellule. Les sommets sont encore une fois remplacés par la figure de sommet. En revanche, contrairement à ce qui se passe avec la rectification, il reste un petit morceau de chaque arête du polychore d'origine : le tiers central de l'arête. Voici un 5-cellules tronqué : Et voici une variante : On obtient un polychore uniforme, encore un 10-cellules mais différent du 5-cellules rectifié. Les cellules sont des tétraèdres réguliers (5 en tout, à la place des 5 sommets du... [Lire la suite]

De même que l'on peut tronquer, rectifier, ou chanfreiner les polyèdres, on peut effectuer de telles manipulations, et d'autres encore, avec les polychores, l'équivalent des polyèdres pour un espace à quatre dimensions. Par exemple, rectifier un polychore revient à remplacer chaque sommet par ce qu'on appelle la figure de sommet. En fait, on relie le milieu de chaque arête issue d'un même sommet. Avec le 5-cellules, voici ce que ça donne : Les cellules d'origine du 5-cellules, des tétraèdres, sont remplacées par des cellules... [Lire la suite]