question de point de vue

En géométrie, il y a souvent plusieurs manières de regarder le même objet.

Par exemple l'objet ci-dessus. Certains me diront qu'il s'agit d'une pyramide. D'autres, plus précis, me diront que c'est un tétraèdre, c'est-à-dire une pyramide dont la base est un triangle, et, par conséquent, dont les quatre faces sont des triangles. Et ce tétraèdre est relié à son centre par des barres jaunes. Jusque là, l'observation se situe dans un espace usuel à trois dimensions.

Mais on peut aussi changer de point de vue et se placer dans un espace à quatre dimensions. Au lieu de polyèdres constitués de faces, on a des polychores constitués de polyèdres. Chacun de ces polyèdres en touche un autre par une face. Dans le cas de l'objet ci-dessus, on peut voir en tout cinq tétraèdres. L'un d'eux, qui contient les autres, est entièrement constitué de barres vertes. Les quatre autres sont constitués de trois barres vertes et de trois barres jaunes. Tous les tétraèdres sont en contact avec quatre autres tétraèdres. Cet objet est une représentation en trois dimensions (une projection) d'un polychore régulier appelé le 5-cellules, parce qu'il est constitué de cinq tétraèdres. Les cellules sont des polyèdres, ici tous identiques. Bien sûr, la projection fait que les tétraèdres n'ont pas tous la même forme : c'est exactement comme quand on dessine un cube en perspective cavalière ; dans un tel dessin, certaines des faces ne sont plus des carrés.

Le 5-cellules est le plus petit polychore possible, on ne peut pas construire de 4-cellules, de même qu'il n'y a pas de polyèdre à trois faces ou de polygone à deux côtés. Il possède 10 faces, qui sont des triangles isocèles, 10 arêtes et 5 sommets.