Je voudrais faire voir à l'aide de quelques images ce qu'est une projection orthogonale, car j'en ai un peu parlé dans quelques récents messages. Il s'agit en quelque sorte d'une ombre, projetée parallèlement à un axe (une droite) qui est perpendiculaire au plan sur lequel le solide est projeté.

Voilà ce que cela donne avec le dodécaèdre régulier. Tout d'abord, voici une projection parallèlement à une droite passant par deux sommets opposés :

dod_ca_dre_r_gulier_3

Ensuite, voici une projection selon un axe qui passe par le centre de deux faces opposées :

dod_ca_dre_r_gulier_4

Enfin, la projection la plus intéressante dans le cas du dodécaèdre est celle dont l'axe passe par le centre de deux arêtes opposées :

dod_ca_dre_r_gulier_2

Cette figure se résume à un hexagone contenant quatre pentagones.

Remarquez que la projection déforme certaines faces, voire toutes les faces dans certains cas : alors que sur le dodécaèdre régulier, toutes les faces sont des pentagones réguliers, sur les différents projetés, qui sont, je le rappelle, des figures planes et non plus en trois dimensions, les faces ne sont pas toutes régulières.

Le troisième des projections que j'ai présentées ici est intéressante car elle ne laisse plus que quatre faces visibles. Les autres sont "cachées" : il y en a quatre autres qui coïncident exactement avec les quatre visibles. Mais un dodécaèdre possède douze faces, et pour le moment, je n'en ai que huit : les quatre du "dessus" et les quatre du "dessous" qui se superposent. Les quatre faces manquantes sont sur les côtés : elles sont perpendiculaires au plan de projection, si bien que leur projeté est un segment. Quatre des six segments qui constituent l'hexagone sont les projetés des quatre dernières faces : il s'agit des deux segments du haut et des deux du bas sur mon image.